logo

Математические игры - Быки и Коровы (часть четвертая). Инструкция, как выиграть


Рассмотрим теперь несколько партий (точнее было бы сказать, пользуясь шахматной терминологией, — окончаний или этюдов), представленных в виде задач. Разобрав их, вы получите неплохую инструкцию как выиграть, которая иллюстрирует тонкости игры в «быки и коровы».

Будут изучены все ситуации, когда ответ противника на наш первый ход — для определенности число 1234 — совпадет с одним из первых пяти в таблице на рис. 2 (предыдущая страничка). При ответе 4б партия продолжается всего один ход, а для каждого из четырех других случаев мы укажем способ игры, гарантирующий отгадывание задуманного числа за наименьшее количество ходов.

Быки и Коровы - табл. 3

Другими словами, за столько ходов мы точно отгадаем число противника, каким бы оно ни было, а при меньшем количестве нам всегда может не повезти — шифр не будет раскрыт.

Партия 1.

На первый ход 1234 противник ответил 2б 2к. Как выиграть? Какое наименьшее количество ходов гарантирует отгадывание задуманного числа?

Легко проверить, что только шесть задуманных чисел в ответ на первый ход 1234 могут дать ответ 2б 2к (табл. 3, первый столбец), и при любом втором ходе по крайней мере три из них дадут одинаковый ответ.

Вторым ходом сыграем 1356 (вместо цифр 5 и 6 можно было бы взять и другие, отличные от 1, 2, 3, 4). Все возможные ответы находятся во втором столбце таблицы. Ответ 2б сразу определяет задуманное число — 1324 (у других чисел иной ответ), ответ 1 б 1 к оставляет два варианта, а ответ 2к — три.

Третий ход 3256 (с учетом второго) вносит полную ясность — все пять чисел-кандидатов дают разную пару ответов. Прочерк в табл. 3 (и всех последующих таблицах) означает, что при соответствующем ходе «реакция» на него данного числа нас уже не интересует. Таким образом, на четвертом ходу гарантирован ответ 4б и партия длится не более четырех ходов.

Типичная и совершенно не очевидная ошибка, которую допускают многие, кто решает эту задачу, состоит в использовании для игры чисел, содержащих только цифры 1, 2, 3, 4. Логика здесь простая — раз все цифры известны, то зачем подключать новые? Однако при таком подходе задуманное число с гарантией определяется на пятом ходу (ответ 4 б).

Партия 2.

Тот же вопрос, что и в первой партии, но ответ на первый ход 1б Зк. На первый ход 1234 восемь чисел могут дать ответ 16 Зк (табл. 4).

Быки и Коровы - табл. 4

При любом втором ходе хотя бы одна четверка чисел дает один и тот же ответ, и для выяснения ситуации понадобятся еще два хода. При втором ходе 1256 числа разделяются на две группы; для чисел первой группы (ответ1б 1к) сделаем третий ход , а для чисел второй группы (ответ 2к) ход 2564. После этого остаются две пары чисел в каждой гpynne, требующие еще одного хода, и четвертый ход 1564 полностью проясняет картину.

Таким образом, вторая партия длится не более пяти ходов.

Рассмотрим, как выиграть в «быки и коровы», анализируя еще две партии.

Партия 3.

Тот же вопрос, что и в предыдущих двух партиях, но при ответе на первый ход 4к.

В ответ на первый ход 1234 девять чисел могут дать ответ 4к (табл. 5). Второй ход 3102 расшифровывает два числа, а остальные семь делит на две группы, в одной из которых решает ход 4153, а в другой — 2456. Четвертый ход завершит партию (будет получен ответ 4б).

Быки и Коровы - табл. 5

Партия 4.

Тот же вопрос, что и в предыдущих трех партиях, но при ответе на первый ход 3б.

Ответ 3б на первый ход 1234 дают 24 числа. Действительно, три цифры можно зафиксировать на своих местах четырьмя способами, а для четвертой имеется шесть возможностей: 0, 5, 6, 7, 8, 9, то есть всего 4X6 = 24 варианта. Любопытно, что найти задуманное число среди 24 чисел в данной партии удается за столько же ходов, за сколько восемь чисел во второй партии.

Рассмотрим табл. 6 а. В ее первых четырех строках а обозначает любую из цифр 8, 9, 0. Таким образом, здесь представлены все 24 возможности. Сделаем второй ход 1567. Ответ 0б 0к оставляет выбор из трех неразгаданных чисел, для которых годится третий ход 8934 (табл. 6 б). При ответе 2б можно сыграть 1506 (табл. 6 в), а при ответе 1к — 5634 (табл. 6 г).

Быки и Коровы - табл. 6а


Быки и Коровы - табл. 6б,в,г


Быки и Коровы - табл. 6д

Для девяти чисел с ответом 1б в табл. 6 а составим табл. 6 д (вновь а может принимать одно из трех значений — 8, 9, 0). Третий ход 3564 разделяет их на три равные группы, четвертым ходом числа идентифицируются, и пятый ход завершит игру (ответ 4б).

Быки и Коровы - табл. 6е, 7

У нас осталось еще шесть чисел, расположенных в нижних строках табл. 6 а, выпишем их отдельно (табл. бе). И с этой шестеркой удается разобраться за два дополнительных хода. Итак, вновь партия длится не более пяти ходов.

Результаты всех рассмотренных партий собраны в табл. 7. Строгое доказательство того, что в каждом случае меньшим количеством ходов не обойтись, мы опускаем.

Эта инструкция, как выиграть и разобранные примеры показывают, что искусная игра в «быки и коровы» требует тонкого математического расчета.